学校数学では、幾何学的直観、物理的直観、sense of fun（オ モシロサがわかること）が３つの基礎的成分であって、第４の 成分、厳密さの感覚というのはひとりでに育つだろう ジーマン
第１節 タイルで遊ぶ代数第一歩
数学の教育が立ち向かわねばならない真の問題は、厳密性の問 題ではなくて、「感覚＝意味｝の構成の問題であり、数学的対 象の「存在論的正当化」の問題である ルネ・トム
１．ん！？ タイル並べで因数分解
周辺地区の実業系高校の数学教師達が見守る中、その授業は始まった。
生徒一人一人の机の上には、大きさ数種類の正方形と長方形のタイル状
の「もの」が積まれている。生徒達は、黒板の式を見ながらそれを大小の
正方形や長方形数枚の「もの」に翻訳するかのように取りだしている。
例えば、２Ｘ2＋9Ｘ＋４はというようにである。
教 師 今日は因数分解ということを勉強しよう。
まず、因数分解ということを、まえに勉強した展開にまで遡っ
て考えて見よう。
いま、このワラ半紙の２辺の長さが2Ｘ＋1とＸ＋4とすると
と手に持ったワラ半紙の２辺に荒っぽく印をつけ
この面積は、２辺の積(2Ｘ＋1)(Ｘ＋4)とも、多項式2Ｘ2＋9Ｘ＋4 とも表わされる。
つまり
(2Ｘ＋1)(Ｘ＋4)＝2Ｘ2＋9Ｘ＋4
という等式が成り立ち、この右辺から左辺を導くことを「展開」
と言ったのだった。
このワラ半紙の線でハサミを入れると
とハサミを入れバラバラにする。
こういう状態になる。この方が、
(2Ｘ＋1)(Ｘ＋4)＝2Ｘ2＋9Ｘ＋4
という「展開」の意味を言い表わしているかな。
さて、このバラバラになった「もの」の面積を合せて
「できた」同じ面積の長方形の面積を２辺の積で表わすと
と、教師は生徒の机上にあるものよりも少し大き目の、黒
板に張り付けられるタイル状の「もの」で操作しつつ、
「展開とは逆の操作もあることになる」と実演し、「因数分解」とは、この、
展開とは逆
2Ｘ2＋9Ｘ＋4＝(2Ｘ＋1)(Ｘ＋4)
の式変形を指して言う。
それでは 多項式
２Ｘ2＋７Ｘ＋３
を因数分解してみよう。
この因数分解の定義を受けて、生徒達は多項式２Ｘ2＋７Ｘ＋３の長方形づく
りに取り組む。
生徒Ａ
というんでどうや。生徒Ｂ うーん！ 長方形ができたけど、長いタイルが二つ余ってしもうた。
生徒Ｃ （生徒B の操作を隣で見ながら）１のタイルを横に並べるのでなく縦に並べてみたら・・・・。
ほーら、出来た!! 生徒D あれ？！ わたし、皆と違う長方形ができたわ。
生徒A え!? 違う並べ方でも長方形が出来た？そんなにいろんな並べ方ができてもいいんか?
数学の答えは一つと違うんか？
生徒C とにかく長方形ができたんやさかいその面積を二辺の積で表わ
してみんか。
えーと、俺のは縦がＸ＋３で、横が２Ｘ＋１だから
二辺の積の式は
(Ｘ＋３)(２Ｘ＋１)
ということや。
D君のんやったら、縦Ｘ＋１で、横は２Ｘ＋・・
うーん!? これやったら読み取れんがいね・・・・。
生徒Ａ そんなことないやろ!? 長方形ができとおるのやさかい？
と首をかしげつつもう一度長方形づくりにチャレンジする。
生徒D 私のなら、横は２Ｘ＋１、縦は１＋Ｘ＋２でＸ＋３。
なーんや、結局(Ｘ＋３)(２Ｘ＋１)や。
長方形づくりに試行錯誤を繰り返す生徒Ａ、そこに数名の生徒と教師が
集まって、その並べ方を見ながら、「それでもまだ長方形になっとらんが
いや」
とか
という並べ方を繰り返す生徒Ａに、「Ｘと２では長方形出来るんかいな」
などと一緒に長方形づくりに取り組む。
生徒Ａ あっ!? そうか。きちんと並べたらはみ出して長方形になっと
らんがや。並べ方が駄目やったんや。
こうして生徒達、「先生!! 答え(Ｘ＋３)(２Ｘ＋１)やろう。」
教 師 うんそうや。それでは同じようにして次の各式を因数分解して
みてくれ。
と型分けでいえば同じタイプの演習問題を与える（読者も添付のタイルを
使って実際操作して因数分解に挑戦して下さい）。
問題１ (1) ４Ｘ2＋８Ｘ＋３ (2) ２Ｘ2＋７Ｘ＋６
(3) ２Ｘ2＋13Ｘ＋６ (4) ４Ｘ2＋15Ｘ＋14
こうして、生徒達は訪問者の前で教え合い、学び合いながらつぎつぎと
式を因数分解していく。
この「もの」の操作の段階では、最終的には、出来ない生徒は一人とし
ていないことになる。