オリエンテーリングと４枚のコイン投げの数学
数学の生命はそれが創造的、直観的プロセスであることである。
ここでは、現実の問題から着想や暗示を引き出し、適切な概念を
理想化し、形式化し、問題を提起し、可能な結論を直観的に引き
出し、それからその直観的な議論を演繹的に証明していく。その
直観と構成が数学を推進する力である。完成された抽象的な厳密
な数学を提示することではない。 モーリス・クライン
第１章２節の札幌の街中オリエンテーリングは、街路を抽象化した「格
子」をモデルに、紙上シミュレートすることで、実際の札幌の街中をオリ
エンテーリングする必要はなくなった。
しかし、実は、以下のように考えると、格子上でのオリエンテーリング
すら行わなくても予測できる。
【オリエンテーリングを数学する】
まず、札幌駅に降り立ち駅前の交差点Ｏに行く路は１つしかないので、
選択の余地はなく１通り。はじめの交差点Ｏからは２つの路のどちらかを
選ばなければならなくなり、左手の路に入るか、右手の路に入るかのどち
らかで、それらの可能性を１、１と書く。
つぎの段の交差点Ｃ、Ｄ、Ｅに来ると、 １ ｽﾀｰﾄ
これまで左の路を選んだ者だけが左の路 １ １ １段目
に、右の路を選んできた者だけが右の路 １ ２ １ ２段目
に入ることができ、その可能性はそれぞ ( )( ) ( ) ( ) ３段目
れ１。交差点Ｂに入るには２つの可能性 ( ) ( )( )( ) ( ) ４段目
があり、最初に左を選んだ人が今度は右
と選ぶか、あるいは最初に右を選んだ人が今度は左を選ぶかの２つだから、
この交差点での可能性を１、２、１と書く。この数列は交差点Ｃ、Ｄ、Ｅ
にそれぞれ何種類の路を通って到達できるかを示していると同時に、交差
点を通過する生徒の人数比も表わす。
この２段目の可能性の総数は、１＋２＋１＝４＝２2と表現できる。
例 題 ４段目の交差点Ｊ、Ｋ、Ｌ、Ｍ、Ｎに対するすべての可能性を数
列で表わすとどうなるか。また、その可能性の総数を求めよ。
交差点Ｊを通過する人の比率は最初から４段目までの左端を通る時を意
味するから、
１×(0.5)×(0.5)×(0.5)×(0.5)＝6.25％
人数は参加者40名だから Ｏ
6.25×40÷100＝2.5 Ａ Ｂ
つまり、２、３名を意味する Ｃ Ｄ Ｅ
Ｋを通過する人の比率を求めるには、各 Ｆ Ｇ Ｈ Ｉ
段の交差点を Ｊ Ｋ Ｌ Ｍ Ｎ
(ｱ) 左・左・左・右
(ｲ) 左・左・右・左 交差点の付号
(ｳ) 左・右・左・左
(ｴ) 右・左・左・左
というどれか一つの経路をたどらなければならないから、例えば (ｱ)の経
路をたどる確率は、左右の分かれ方の確率が同じ 0.5なので、Ｊと同様6.25％。
他の三つの経路についても同じ値になるから、結局求める比率は、
6.25％×４＝25％
のように求めら、同様に人数計算すると１０名である。
残る三つの交差点の場合も同じように求めると
(Ｊ) １×(0.5)4 ＝ 6.25％ 人数２、３名
(Ｋ) ４×(0.5)3 ×(0.5)1 ＝25 ％ 人数１０名
(Ｌ) ６×(0.5)2 ×(0.5)2 ＝37.5 ％ 人数１５名
(Ｍ) ４×(0.5)1 ×(0.5)3 ＝24 ％ 人数１０名
(Ｎ) １× (0.5)4＝ 6.25％ 人数２、３名
【４枚のコイン投げを数学する】
４枚のコイン投げの実験では、起こりうる結果は下記の１６通りある。
上の数字はコイン番号、左端は結果のカウント数を表わす。
しかし、これを表の枚数が幾つかという結果でみれば、０から４枚まで
の５通りしかなく、４枚すべてが「表」というのは１１１１、オリエンテー
リングの１１１１は、交差点Ｏから出発して、すべて右の路を選んだこと
を意味するから交差点Ｎの通過を考えるのと同じであり、３枚が「表」と
は交差点Ｍの通過を考えることと同じことが分かる。
各ケースの起こりうる確率の値は右端の列に示した。オリエンテーリン
グと４枚のコイン投げの二つの実験での確率的からくりは同一ということ
が数値的にも分かる。
１２３４ 表の数 確 率
1 １１１１ ４ １×(0.5)4 ＝ 6.25％
2 １１１０ ３ ４×(0.5)3 ×(0.5)1 ＝25 ％
3 １１０１
4 １０１１
5 ０１１１
6 １１００ ２ ６×(0.5)2×(0.5)2 ＝37.5 ％
7 １０１０
8 ０１１０
9 １００１
10 ０１０１
11 ００１１
12 １０００ １ ４×(0.5)3×(0.5)1 ＝25 ％
13 ０１００
14 ００１０
15 ０００１
16 ００００ ０ １× (0.5)4 ＝ 6.25％
６）一般化と拡張 ーパスカルの三角形 組合せ−
最後に、ホワイトヘッドやガリレイが感嘆していた、ときとしていかな
る経験的源泉からも可能な限り離れてしまうその大胆な抽象性でもって、
直接的経験も教えてくれぬ何ものかを先取りする「数学の力」、というこ
とについて、スケールは小さいが一例を挙げておこう。
先の例題、オリエンテーリングの紙上シミュレートをイメージに作られ
た数列（下図左）は、「パスカルの三角形」として知られているもので、
格子の代わりにこれを使っていろいろな問題が解けるばかりか、格子のイ
メージとまったく無縁に新しい数学が展開されることにもなる。
１ (ｘ＋ｙ)0＝ １
１ １ (ｘ＋ｙ)1＝ ｘ＋ｙ
１ ２ １ (ｘ＋ｙ)2＝ ｘ2+2ｘｙ+ｙ2
１ ３ ３ １ (ｘ＋ｙ)3＝ ｘ3+3ｘ2ｙ+3ｘｙ2+ｙ3
１ ４ ６ ４ １ (ｘ＋ｙ)4＝ｘ4+4ｘ3ｙ+6ｘ2ｙ2+4ｘｙ3+ｙ4
１ ５ 10 10 ５ １
パスカルの三角形 二項式の展開
例えば、本節第１項の「二項式ｘ＋ｙの４乗の展開式」（上図右）の各
項の係数と、このパスカルの三角形の各項の数列は対応する。したがって
２項式 (ｘ＋ｙ)5の展開式はつぎのようになる。
(ｘ＋ｙ)5＝ｘ5+5ｘ4ｙ+10ｘ3ｙ2+10ｘ2ｙ3+5ｘy4+ｙ5
読者の方々もつぎの問題に答えて頂きたい。
問 題 パスカルの三角形の６段目の数列あるいは２項式(ｘ＋ｙ)６を展
開せよ。また、パスカルの三角形で１１段目の左から５つ目の数列
の値を求めるにはどうすればよいだろうか。
この問題の前半に答えるには、パスカルの三角形の５段目までの数列か
ら法則性を発見し６段目を求めなければなりません。どのような法則性が
あるでしょうか。また、後半は６段目のように、発見した法則を次々に適
用して求めていけなくもありませんが、そんな悠長なことをしていたので
は非合理的です。次の例題のように計算します。
例 題 「６人から４人の役員を選ぶ方法は何通りあるか？」、「同一直
線上にない６点の４点を結んでできる四角形は何通りあるか？」な
どは、組合せ論の初等的問題で一般的には「異なる６つから４つと
る組合せは何通り？」ということになる。
いずれも
6Ｃ4＝（６×５×４×３）／（４×３×２×１）＝15
と計算します。この数学記号6Ｃ4のＣは組合せの英訳 combinationの頭文
字をとったもの。
この組合せの数学記号 6Ｃ4、つまり６つから４つとる組合せというこ
とをオリエンテーリングの交差点で言うと、４つを「選ぶ」、２つは「選
ばない」ことを意味します。これを交差点でいうと、どこの交差点でも４
つの交差点で右、残る２つで左、あるいは、４つの交差点で左、残る２つ
で右へ行くということです。その一つとして、読者から見て、最初のスター
トから左左左左右右を例にとって、直接、パスカルの三角形を使って数列
を辿ると、１、１、１、１、５、15となることが分かります。また、読者
から見て、最初のスタートから右左左右左左をとると、数列は、１、２、
３、６、10、15となります。この最後の15という値は、スタートから４つ
を「選ぶ」、２つは「選ばない」という道順をとると、どこの交差点を通っ
てもこの値に辿り着くことを意味します。また、同じ６段目の左から３番
目の値15は、２つを「選ぶ」、４つは「選ばない」ことを意味する組合せ
6Ｃ2を表わします。したがって、6Ｃ4＝6Ｃ2が成り立ち、こうしてパスカ
ルの三角形は、下図右の組合せの数学記号に置き換えてもよいことになり
ます。
１ 0Ｃ0
１ １ 1Ｃ0 1Ｃ1
１ ２ １ 2Ｃ0 2Ｃ1 2Ｃ2
１ ３ ３ １ 3Ｃ0 3Ｃ1 3Ｃ2 3Ｃ3
１ ４ ６ ４ １ 4Ｃ0 4Ｃ1 4Ｃ2 4Ｃ3 4Ｃ4
１ ５ 10 10 ５ １ 5Ｃ0 5Ｃ1 5Ｃ2 5Ｃ3 5Ｃ4 5Ｃ5
１ ６ 15 20 15 ６ １ 6Ｃ0 6Ｃ1 6Ｃ2 6Ｃ3 6Ｃ4 6Ｃ5 6Ｃ6
先の問題の後半は、この組合せ11Ｃ4の値を求めればよいことになり、その
計算と値は
11Ｃ4＝（11×10×9×8）／（４×３×２×１）＝330
なります。
また、問題の前半、パスカルの三角形の５段目までの数列から６段目を
求める法則性とはどういうことでしょうか。
一般に、「異なるｎ個のものからｒ個とって組合せる」数は
ｎＣｒ＝ｎ！／ｒ！(n-r)！
で求まる。ここで数学記号n!や(n-r)！は次の計算を意味し、記号！は階乗
と読む。 n!=n×(n-1)×(n-2)×･･･×3×2×1
(n-r)！=(n-r)×(n-r-1)×･･･×3×2×1
この組合せｎＣｒにおいてｎＣｋとｎＣｋ＋１の値の和ｎＣｋ＋ｎＣｋ＋１
を、上の定義にしたがって計算すると
ｎＣｋ＋ｎＣｋ＋１＝〔ｎ！／k！(n-k)！〕+〔ｎ！／(k+1)！(n-k-1)！〕
＝ｎ！／〔k(k-1)×･･･×3×2×1〕〔(n-k)(n-k-1)×･･･×3×2×1〕
＋ｎ！／〔(k+1)ｋ×･･･×2×1〕〔(n-k-1)(n-k-2)×･･･×3×2×1〕
＝(k+1)ｎ！／〔(k+1)k(k-1)×･･･×2×1〕〔(n-k)(n-k-1)×･･･×2×1〕
＋(n-k)ｎ！／〔(k+1)ｋ×･･･×2×1〕〔(n-k)(n-k-1)×･･･×2×1〕
＝(k+1)ｎ！／(k+1)！(n-k)！＋(n-k)ｎ！／(k+1)！(n-k)！
＝〔(k+1)＋(n-k)〕ｎ！／(k+1)！(n-k)！＝ｎ！(n+1)／(k+1)！(n-k)！
＝(n+1)!／(k+1)！(n-k)！＝(n+1)!／(k+1)！〔(n+1)-(k+1)〕！
＝ｎ＋１Ｃｋ＋１ (k=0,1,2,・・・,n)
となる。すなわち、二項係数の相互関係
ｎＣｋ＋ｎＣｋ＋１＝ｎ＋１Ｃｋ＋１ (k=0,1,2,・・・,n)
が導かれます。
この関係式がどういうことを意味するのかといいいますと(ｎ+1)段目の
第 (k+1)項の値はｎ段目の第ｋ項と第 (k+1)項の組合せの和に等しい、と
いうことであり、これはパスカルの三角形の構造を決めるもので、両端の
１の内側の各数はその前段の隣り合う２数の和で求まる、ということを意
味します。このことは第５段までの数列を見れば経験的にも確認できます。
つまり、式はパスカルの三角形の構造を決めるわけです。
この発見した法則を適用すれば、６段目の数列の値は、6Ｃｒ を一つ一
つ計算するより合理的なことは明らかでしょう。
ここでは、パスカルの三角形が自然に獲得でき、二項分布に結びつく、
ゲーム・実験から入ったため、成功の確率が 0.5のものを採用したが、
例えば正解一つの３択テストや３択クイズを素材にすると
nＣｒ(1/3)ｒ(2/3)1-ｒ (ｒ＝０、１、２・・・)
という一般的な形
nＣｒｐｒｑ1-ｒ (ｒ＝０、１、２、３、・・・,ｐ＋ｑ＝１)
の二項分布の学びを組織できることになります。
パスカルの三角形の数列の一つ一つはこの係数nＣｒを意味し、(ｐ＋
ｑ)nという２項式の展開式の各項の係数を表わしていることから２項係数
と呼ぶ。
先の二項分布で、実験回数ｎが大きくなると、確率の値を正確に求める
ことが困難になる。非常に大きな値と非常に小さな値の掛け算になるから
である。これをどう解決するかが課題となる。そしてこれを解決するのが
正規分布曲線を用いることであることを明らかにしたのが、ﾄﾞ・モアブル、
ついでラプラス、さらにガウスという数学者たちでした。
また、この二項分布の極限ｎ→∞として、ポアソン分布がでてくる。
どのような変わり種の確率分布も、本質的にはこの二項分布の変形にす
ぎないといわれていることから、「すべての確率分布を理解する鍵である」
と言われる程に実際的にも理論的にも重要な確率分布なのです。
調査 若い人たちの間にはアルフィーの熱烈なファン（これをアル中と称
する）が多い。わが（ ）高校３年 組のアル中度を調べて見よう。
アルフィーの［好き・嫌い］を尋るから挙手して下さい。
どちらでもないという人も［どちらかと言うと（好き・嫌い）］と
いう判断をして［好き・嫌い］のどちらかを選んで下さい。
アルフィー［好き］ 人 ；［嫌い］ 人
集計 （ ）高のアル中度調査結果
生徒45名中14名が″好き″で
31名が″嫌い″でした。 好き 嫌い
今、″好き″を［１］、″嫌 符 計
い″を［０］と符号化して、頻 号 1 0
数(f )分布表、相対頻度(p )分
布表を作ると右のようになる。 頻度ｆ 14 31 45
この学級の生徒のうち、14人 ％ ｐ 31 69 100
が″好き″であるから、その比
率ｐは、14/45=0.31。″好き″であって同時に″嫌い″であるという
ことは起こらない（排反な事象）から、″嫌い″の比率ｑは、
ｑ＝1−P＝1−14/45＝31/45＝0.69 となり、表のようになる。
問題 今、45人の生徒からデタラメに４人の生徒を選んだとき、［好き・
好き・嫌い・嫌い］という生徒がこの順序（符号で書くと１１００）
選びだされたと仮定してみよう。こういうことは４人の生徒を多数回
繰り返して選んだ場合どれくらいの割合で生じるであろうか。
いいかえれば、このクラスからデタラメに４人の生徒を選び出し、
選んだ順序どおりにその型を記録しておく。つぎにまた、デタラメに
４人を選び、その型を記録しておく。このようなことを多数回繰り返
した場合、１１００という型の相対頻度はどれくらいになるだろうか。
カード(「1」14枚、「０」31枚）あるいは、４枚のコインで実験し、
記録・計算して見よう。
クラスの度数 比率
ア）４人とも嫌い （ ） （ ）
イ）１人が好き （ ） （ ）
ウ）２人が好き （ ） （ ）
エ）３人が好き （ ） （ ）
オ）４人とも好き （ ） （ ）
同じ実験を何回も繰り返した、１人１回（計45回）と合計150回分
の度数（ｆ）分布と比率（ｐ）の一例を参考データにあげると下記
の通りです。
０ １ ２ ３ ４
ｆ １１ １９ １０ ４ １ ４５
ｐ .24 .42 .22 .09 .02
ｆ ３３ ６２ ４３ １０ ２ １５０
ｐ .22 .41 .29 .07 .01